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Algèbre tensoriel

Le calcul vectoriel classique est une technique simple et efficace qui s'adapte parfaitement à l'étude des propriétés mécaniques et physiques de la matière dans l'espace euclidien à trois dimensions. Cependant, dans de nombreux domaines de la physique, il apparaît des grandeurs expérimentales qui ne peuvent plus être facilement représentées par de simples vecteurs-colonnes d'espaces vectoriels euclidiens. C'est le cas par exemple en mécanique des milieux continus, fluides ou solides, en électromagnétisme, relativité générale.


Le calcul tensoriel, appelé aussi parfois "géométrie différentielle absolue" a également pour avantage de se libérer de tous les systèmes de coordonnées et les résultats des développements mathématiques sont ainsi invariants (énorme allégement des calculs). Il n'y a plus alors à se préoccuper dans quel référentiel il convient de travailler et cela, est très intéressant en relativité générale.


Rappel sur les vecteurs :


Dans un cet espace vectoriel euclidien E3, on utilisera couramment une base orthonormé B formée par les dimensions spatiales :

Avec 0 comme point d'origine de ce repère:

L'élément de cet espace qu'on appelle vecteur est défini par :

1. NOTATION INDICIELLE


Notation d'Einstein :


La notation d’Einstein est une convention propre au calcul tensoriel. Elle permet d’alléger considérablement les notations. On l’appelle aussi « notation indicielle », ou « convention de l’indice muet » :


« Si un indice apparaît deux fois dans le même monôme, on lui fait prendre les valeurs 1, 2, et 3, et on fait la somme de l’ensemble »


Un indice représente une référence à un des axes de la base B:

Un vecteur peut par exemple s’écrire :

On appelle ceci un indice muet et il existe une convention de sommation qui consiste à utiliser le fait que l'indice répété, ici l'indice j, va devenir lui-même l'indication de la sommation. Nous écrivons alors, avec cette convention:

Ainsi, pour représenter le système linéaire:

Dans le cas où on ne voudrait pas faire de somme malgré une répétition d’indice, on a coutume de souligner l’indice en question. Il est alors appelé indice franc:

Symbole de Kronecker :


Le symbole de Kronecker (appelé « le Kronecker ») peut prendre 2 valeurs :

On rappelle que les indices i et j représentent des directions de l’espace et valent 1, 2, ou 3. On a donc:

Soit:

Il permet donc d'écrire, par exemple, le produit scalaire de deux vecteurs et de norme unité et orthogonaux entre eux, sous la forme:

2. TENSEUR


Définition :


Les "tenseurs" sont des objets mathématiques généralisant les notions de vecteurs et de matrices. Ils ont été introduits, en physique, pour représenter l'état de contrainte et de déformation d'un volume soumis à des forces, d'où leur nom (tensions).


Pour bien illustrer ce qu'est un tenseur, considérons une fonction T qui prend 2 vecteurs u et v en paramètre et qui retoune un nombre réel T(u,v). Cette fonction doit satisfaire aux conditions de linéarité suivante :


- Elle doit générer des nombres ∈ ℝ

- La multiplication d'un des vecteurs u par un nombre α soit être égal au nombre α multiplié par le résultat :

- Distribution d'une somme de vecteurs des paramètres de la fonction dans le résultat :

Un tenseur est donc une fonction ou une application dans un espace vectoriel qui intègre des vecteurs en paramètre pour générer un nombre et, qui doit satisfaire à toutes les propriétés de linéarité :

  • Si on multiplie un des vecteurs par un nombre, le tenseur multiplie le resultat par ce même nombre

  • Si on applique une opération d'addition à un des vecteurs, le tenseur doit pouvoir la distribuer en appliquant l'addition du résultat de l'opération aux 2 vecteurs

Ici notre tenseur est d'ordre 2 c'est-à-dire qu'il ne peut prendre en paramètre que 2 vecteurs, on dit qu'il est bilinéaire. Un tenseur d'ordre 1 est un vecteur mais il existe des tenseurs pouvant prendre 3 ou n vecteurs en paramètres, ils seront d'ordre 3...n.


Exemple de tenseur d'ordre 2 souvent utilisé c'est le produit scalaire :


En effet, cette opération satisfait les 2 conditions de linéarité (distributivité et de multiplication par un scalaire):

Et le résultat de ce tenseur ne dépend donc que des propriétés géométriques des vecteurs à savoir la longueur des vecteurs et l'angle entre eux et non de leur coordonnées dans un référentiel choisi (axes x,y) :

NB : Un tenseur d'ordre 0 est un scalaire.


Maintenant, pour pouvoir décrire ce tenseur, il est utile de le définir par une représentation sous forme matricielle. Pour celà, il faut le représenter dans un référentiel muni de coordonnées et de vecteurs de base correspondant aux unités de chacun des axes du repère (ei,ej):







Ce tenseur peut être représenté sous forme d'une matrice :

On peut remarquer que si le repère est orthonormé alors les composantes croisées du tenseur Txy = Tyx = 0 et les composantes diagonales Txx = Tyy = 1. On se retrouve alors avec la fameuse formule de calcul du produit scalaire de 2 vecteurs :

Calcul tensoriel :


Dans la base courante B, on appelle composantes du tenseur T les 9 scalaires :

En effet, pour un tenseur d'ordre 2 dans la base des 3 vecteurs de base B:

On en déduit que, dans cette base, on peut représenter le tenseur par une matrice :

NB : Un tenseur n’est pas une matrice


En revanche, dans une base de l’espace tridimensionnel, on peut représenter un tenseur d’ordre 2 par une matrice carrée 3*3.


Ainsi, dans une autre base:

Le même tenseur s’exprimera par une matrice différente :

Si on reste dans la base donnée B, on peut écrire le résultat du tenseur appliqué à 2 vecteurs U et V sous forme de scalaire :

Soit avec la notation d'Einstein :

Tenseur métrique :


Le tenseur métrique covariant s'exprime sous la forme suivante :

Pour satisfaire la propriété de commutativité du produit scalaire, nous devons avoir l'égalité:

La relation précédente s'écrit aussi parfois sous la forme:

Lorsque les vecteurs de base ei et ej forment un espace vectoriel orthogonal (pas nécessairement orthonormé) alors les quantités:

sont nulles si i≠j. Le produit scalaire des deux vecteurs se réduit alors à:

Nous avons alors dans ce cas particulier:

Et lorsque les vecteurs de base forment un espace vectoriel orthonormal il est clair que gij est égal au symbole de Kronecker tel que:

Tenseur de dualité :


Le tenseur de dualité g^ij est un tenseur métrique contravariant permettant de passer aux indices supérieurs.


Tenseur d'antisymétrie :


Ce sont des tenseurs de rang 3 dont les indices i, j, k prennent l'une des valeurs {1,2,3} :

  • Le tenseur d'antisymétrie covariant ε_ijk qui est défini par ε_ijk = 1 si (i, j, k) est une permutation paire de (1, 2, 3), -1 si c'est une permutation impaire, sinon 0.

  • Le tenseur d'antisymétrie contravariant ε^ijk est l'inverse du tenseur d'antisymétrie covariant ε_ijk et dont les exposants sont soumis aux mêmes règles.

Ces 2 tenseurs permettent de définir le produit vectoriel dans l'espace-temps.


Tétrades :


En relativité générale, il est possible de choisir localement une base de tétrades εα(x) en chaque point de l'espace-temps, qui peut différer de la base de coordonnées ei(x) choisie initialement pour définir le système de coordonnées. Cette base de tétrades est reliée à la base de coordonnées par un changement de base, qui est décrit par les coefficients εiα(x), appelés coefficients de tétrade :

En général, les vecteurs de base de cette nouvelle base de tétrades ne sont pas nécessairement unitaires, mais il est possible de choisir une base de tétrades telle que les vecteurs de base εα(x) soient unitaires et orthogonaux, c'est-à-dire qu'ils satisfont à la relation ci-dessous εα · εβ = ηαβηαβ est la métrique de Minkowski. Dans ce cas, ces vecteurs de base constituent une base orthonormée, qui est appelée une tétrade de référence :

Ces tétrades de référence peuvent être utilisées pour décrire la géométrie locale de l'espace-temps autour d'un observateur donné.


On peut aussi exprimer la métrique de Minkowski de la manière suivante :

Les vecteurs de la base locale constituent des tétrades pour chaque observateur lié à une valeur fixe des coordonnées spatiales.


La matrice inverse de εiα est notée εαi, ce qui permet d'écrire les relations de transformation inverse des coefficients de tétrade :

On peut exprimer les vecteurs ei en fonction de la tétrade εα ainsi :

On peut aussi définir la métrique contravariante en fonction de cette tétrade:

Et déduire tout tenseur en fonction de cette tétrade, comme dans n’importe laquelle base:

où on peut exprimer le tenseur en fonction des coefficients de la tétrade :

3. MÉTRIQUE ET SIGNATURE


Le produit scalaire d'un vecteur peut permettre de définir la notion de norme d'un vecteur (et le concept de distance).


Nous avons par définition la norme d'un vecteur qui est donnée par:

où les nombres gij définissent en quelque sorte une "mesure" des vecteurs; nous disons alors dans le langage du calcul tensoriel qu'ils constituent la "métrique" de l'espace vectoriel choisi.


Dans l'espace de la géométrie classique, la norme est un nombre qui est toujours strictement positif et qui ne devient nul que si le vecteur mesuré est égal à zéro. Par contre, l'expression précédente de la norme d'un vecteur, peut être éventuellement négative pour des nombres g11, g12, ... gij quelconques (espaces complexes par exemple). Nous pouvons donc distinguer deux genres d'espaces vectoriels pré-euclidiens (espace euclidien dans lequel nous avons défini le produit scalaire) selon que la norme est positive ou non.

Cependant lorsqu'en physique théorique nous souhaitons faire l'analogisme avec une structure d'espace vectoriel il faut que la condition:

soit satisfaite (gij peut être écrit comme une matrice, rien ne nous l'empêche). C'est une des conditions pour qu'une expression assimilable à une norme sous une écriture tensorielle forme dans le cadre d'une théorie physique un espace vectoriel des états du système.


A partir des coefficients du tenseur métrique covariant g_ij définissant la métrique de l'espace En, nous pouvons introduire les coefficients du "tenseur métrique contravariant" g^ij définissant la métrique d'un "espace dual" par la relation (1):

Un cas particulier qui satisfait la relation ci-dessus est le tenseur métrique de Minkowski où nous avons:

L'espace dual est sous-tendu par n vecteurs de base e^i construite à partir des vecteurs e_i tel que:

Pour rendre contravariante une composante covariante, nous montons son indice:

Et inversement, pour la rendre covariante:

Ainsi, toujours dans le cas de l'exemple de la métrique de Minkowski, si nous considérons le quadrivecteur contravariant:

Nous avons alors:

4. DÉTERMINANT DE GRAM


Voyons une autre approche pour obtenir les vecteurs de base de l'espace dual qui peut permettre par ailleurs de mieux appréhender le concept et qui nous permettra d'obtenir un résultat intéressant que nous utiliserons lors de certains calculs de la relativité générale (principalement son étude selon le formalisme lagrangien).


Nous avons donc pour i=j=1 à partir de cette relation:

Ce produit scalaire peut être vu comme une condition de normalisation pour les deux bases et les deux produits scalaires

comme des conditions d'orthogonalisation. Ainsi, comme e1 est perpendiculaire à e2 et e3 nous pouvons écrire:

cte est une constante de proportionnalité. Maintenant jouons un peu avec la relation précédente:

Donc :

On peut en déduire en introduisant ici que :

Soit de manière plus générale (sans démonstration car peut-être trop évident) nous obtenons pour les vecteurs covariants:

et de même pour les vecteurs contravariants en élevant les indices :

NB : Les relations ci-dessus ne sont valables que pour un espace à trois dimensions.

La notation des deux relations précédentes est mathématiquement inappropriée car en réalité ce n'est pas une égalité entre deux vecteurs mais une opération de transformation d'un espace vectoriel dans l'autre

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