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Equation de champ d'Einstein

L’équation d'Einstein ou équation de champ d'Einstein (en anglais, Einstein field equation ou EFE), publiée par Albert Einstein, pour la première fois le 25 novembre 1915, est l'équation aux dérivées partielles principale de la relativité générale.


C'est une équation dynamique qui décrit comment la matière et l'énergie modifient la géométrie de l'espace-temps. Cette courbure de la géométrie autour d'une source de matière est alors interprétée comme le champ gravitationnel de cette source.


Le mouvement des objets dans ce champ est décrit très précisément par l'équation de sa géodésique.

La métrique gμν produit une famille de géodésiques. Il est à noter que des particules à masse gravitationnelle positive ou négative se comporteraient de la même manière en suivant les mêmes géodésiques lorsqu'elles sont déviées par le potentiel gravitationnel créé par une masse importante M (par exemple dans la gravité terrestre ou solaire).


On peut modéliser cette équation de la manière suivante :


Un objet massif émettant du rayonnement (Energie matière = m*c² + Energie rayonnement = h*f négligeable) va développer une densité d’énergie qui va courber l’espace-temps qu'il occupe suivant la relation suivante :


Son second membre prend en compte le contenu de l’univers, en tout point de l'espace-temps.


  • S’il est non nul, alors la solution géométrique qui émergera de cette équation décrira l’intérieur d’une masse.

  • Mais s’il est nul , la solution induite par cette équation se réfèrera à une portion de l’univers totalement vide :

Karl Schwarzschild élabore ensuite 1 solution géométrique complète à cette équation composée de 2 métriques publiées dans 2 articles. Puis la même année, un jeune mathématicien apporte sa propre lecture du travail de Schwarzschild. Il s’appelle Ludwig Flamm. Son travail et son nom restent totalement inconnus des spécialistes de la cosmologie pour une raison simple : son article n’a été traduit en anglais qu’en 2012. Il avait une maîtrise parfaite de la géométrie des objets géométriques que sont les hypersurfaces riemanniennes à trois dimensions,


Référence :

1916-Flamm-en
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1916-Flamm-fr
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En l'occurence, il construit la solution géométrique complète en réalisant le raccord entre deux hypersurfaces le long d’une sphère de densité constante :

  • La première solution géométrique donnant la métrique décrivant les géodésiques parcourant l'espace-temps extérieur courbé par une sphère de densité constante à savoir la portion d'une hypersurface de Flamm non contractile (pouvant se réduire à un point) jusqu'à sa sphère de gorge de périmètre 4 π Rs² :

- Surface à 2 dimensions (r,θ) :






- Hypersurface à 4 dimensions (r,t,θ,φ) :




















Référence : "On the Gravitational Field of a Mass Point according to Einstein’s Theory" le 13 janvier 1916


Réf. Allemand :

1916-Schwarzschild-exterior-de
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Réf. Anglais :

1916-Schwarzschild-exterior-en
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  • La seconde solution géométrique donnant la métrique décrivant les géodésiques à l'intérieur de cette sphère (représentant une étoile à neutron) pour compléter la solution géométrique :





En effet, en partant de la métrique de Flamm :





















Le terme k étant simplement la façon dont on représentait à cette époque la constante de la gravitation G.


On peut réécrire la solution de manière à l’exprimer avec les mêmes variables que la solution extérieure en opérant un changement de variable et en faisant apparaître la constante de gravitation et la vitesse de la lumière, prise égale à l’unité dans l’article de Flamm, comme dans ceux de Schwarzschild :

.

Après simplification :

Référence : "On the Gravitational Field of a Sphere of Incompressible Fluid according to Einstein’s Theory" le 24 février 1916 qui n'a été traduit depuis l'Allemand qu'en 1999 !


Réf. Allemand :

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Réf. Anglais :

1916-Schwarzschild-interior-en
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Solution géométrique complète :


Elle consiste à joindre deux portions de solution à savoir deux parties d’hypersurfaces ayant leur propre métrique. Les conditions de raccord étant que l'aire de ces 2 hypersurfaces soit de même valeur et que la quantité de courbure du tronc de cône soit égale à la celle de la calotte sphérique.


Autrement dit, pour la solution intérieure, on ne retiendra que la portion correspondant à R < Ro (Intérieure à l’étoile). On complètera avec la solution extérieure, prise pour R > Ro (Extérieure à l’étoile) :



En s'assurant que les géodésiques de la métrique intérieure se raccordent à celles de la métrique extérieure, la construction de cette solution géométrique bi-métrique permettra ainsi de calculer toutes les géodésiques des particules parcourant l'objet massif (l'étoile).


Dans la figure ci-dessous, l'objet massif de couleur bleue crée une courbure positive de l'espace-temps induisant un effet de lentille gravitationnelle positif :

Il y a 2 points de vue possibles des trajectoires parcoures par les particules à l'approche d'un objet massif :

  • D'un point de vue relativiste à savoir dans un espace courbe de Minkowski, la masse m+ suit une trajectoire tout à fait droite mais sur un espace courbé par la force gravitationnelle de l'objet massif

  • D'un point de vue euclidien, la trajectoire suit une courbe liée à l'action de l'objet massif sur celle dont la Force est inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.

La réalité est que l'approche euclidienne est une projection approximative de l'approche relativiste sur un plan.

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